最初的選擇

日前在云風的 blog 上看到概率問題，讓我困惑了好一陣子......

簡單地說就是，乍看之下我覺得機率應該是 1/2 才對，因為前面的人不管選了什麼，
都不會影響到後面的機率。因此最後剩下牛展（這是啥？）和香菇的時候，無論如何，
正確的機率都應該是 1/2. 可我相信云風應該不會錯，雖然底下 comment 很多都和
我有一樣的結論，應該是 1/2, 還是不斷在想是什麼情況下會得到 1/3 這個結論。

comment 裡提到了貝氏定理，不過我覺得這應該沒有差別，重點應該在條件機率。
可條件機率看來看去，如果事件的前後沒有因果關係，那就跟一般機率沒兩樣了。
因此重點還是在這個問題裡面的事件，到底有沒有因果關係？

後來我看到有人提到蒙提霍爾問題，大概看了一下.... 我想這問題可以這樣解。
首先把情況分成兩個部分，一個是「一定要換」另一個是「一定不要換」。
因為我們的目標正是想知道這兩種作法的結果，有什麼機率上的差異？
如果選擇「一定不要換」的話，那很明顯無論主持人怎麼做，都不會影響結果，
那選對的機率也就很自然是 1/3 了。

但如果「一定要換」的話，就不太一樣了。這邊有好幾個重點，首先注意主持人的
行動。主持人的行動，跟玩家的選擇是有因果關係的。如果玩家選對了，那主持人
隨機選擇其中一個錯誤的選擇。如果玩家選錯了，那主持人只剩下一個選擇，就是
選擇剩下那個錯誤的選擇。

因此這邊有因果關係，可以使用條件機率。不過我覺得可以不用條件機率來思考。
假使一開始選擇的就是對的，那在「一定要換」的情況下，有 0 的機率會選對。
假使一開始選擇的就是錯的，那在「一定要換」的情況下，有 1 的機率會選對。
也就是說，選對的會變成選錯的，選錯的會變成選對的，情況完全反過來，
因此在「一定要換」的情況下，選對的機率變成 2/3, 選錯的機率是 1/3.
(實際算法是 1/3 * 0 + 2/3 * 1 => 2/3)

重要的前提：

* 主持人一定要選錯的答案，玩家選對選錯，主持人的選擇情況會不同
* 如果沒有最初的選擇，主持人先選，則玩家的選擇無關於主持人的選擇，機率變成 1/2

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想到這裡，我忽然覺得云風應該是對的。但後面本來打了很多，愈想又愈覺得好像不對，
無論如何找不到那個關鍵的因果關係。放了一天，還是覺得好像找不到答案。所以乾脆
就只把目前想法寫出來就好了...

首先是最初的選擇。假使每個便當都是不一樣的，那麼選到正確的答案，自然是 1/4.
但是其中有三份是一樣的，因此選有三份的那份，機率要乘三，也就是 3/4.
一開始的選擇是對的，這個應該沒有任何爭議。

接著問題來了。如果我們有換的機會，要不要換？如果不換的話，同樣也就不會有
因果關係。既然沒有因果關係，那最後剩下二選一的情況，選對的機率仍然是 1/2,
從 3/4 下降到 1/2. 但如果要換的話呢？

我現在在想的是，拿走牛展的兩人，無論如何都不會因為少了一份牛展而改變其選擇。
如果最初的選擇是拿香菇的話，那就有差了，因為如果有人的是香菇，那很明顯現在
沒有香菇了... 可是如果最初的選擇是牛展，充其量似乎也只能知道發生這件事的機率是
2/3 * 1/2 => 1/3 而已。（三份便當裡有兩份牛展、兩份便當裡有一份牛展）

而這件事說起來真的影響到的，好像還是只有機率從原本的 3/4 下降到 1/2 ?

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總而言之，感覺機率有時候真的有點違反直覺，而且有無窮多種說法與解法。
也因此有時候有已知答案時，我會變得好像在想辦法去湊那個答案... 跟原本
不知道答案而在分析問題時，感覺不太一樣。

另外我覺得說不定數學或科學最有趣的地方在於，最終得到的答案很可能是
違反直覺，或是自己不想接受的。這大概也使得以之獲得想要的答案時更
讓人覺得是可信賴的。我想所謂可證偽性大概就是如此吧。不過也因此這更
顯得 42 是個很好笑的笑話...