Gödel's incompleteness theorems

Kenny's Overview of Hofstadter's Explanation of Gödel's Theorem

一直很想知道 Gödel's incompleteness theorems, 不過一直沒真的搞懂過。
前一陣子在 twitter 上看到一個前百大重要的數學 theorem, 抱歉拖太久了，
有點懶得回頭去找連結（重點是這幾天都日夜顛倒了，我很想趕快把這些東西
整理完趕快去睡覺 ><）。總之 Gödel's incompleteness theorems 是唯一
一個近代理論，而且排名又排在很前面的。

這一篇的解釋還算滿清楚的，不過有些關鍵點我還是搞不懂是怎麼來的 :(

其實我是好一陣子前看的，現在有點忘記細節，而且很想睡不想重看一次...
總而言之，疑問大概是這樣。既然 TNT 是一個描述 natural number 的東西，
那又要怎麼拿來描述 TNT 本身？

就算用了 Gödel-numbered TNT, 將 statement 轉為 numbers, 這也不代表
statement 是 numbers 吧？就算用了同樣的符號，也不代表兩邊是相同的吧？

還是說其實應該反過來？把 statement 轉為 numbers 後，我們得到了一個
另一種的 number system, 而這個 number system 可以表達 TNT 本身，
於是我們就可以用 TNT 去描述這個 TNT?

這麼一說好像也有道理喔...? 囧>

欸，白天有空時再想想 ><

但是這又表示什麼？就算一個系統是 inconsistent 的，
這有表示能夠找到一個我們認為他是 true 的，但又無法證明的東西嗎？
如果無法證明，又要用什麼來宣稱他是 true?
有了 contradiction 就不會是 true 了吧？還是我們不在乎全知觀點之類的？
wikipedia 裡的這句話有例子嗎？

For any such system, there will always be statements about the natural
numbers that are true, but that are unprovable within the system.