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2011-12-08

最初的選擇

日前在云風的 blog 上看到概率問題,讓我困惑了好一陣子......

簡單地說就是,乍看之下我覺得機率應該是 1/2 才對,因為前面的人不管選了什麼,
都不會影響到後面的機率。因此最後剩下牛展(這是啥?)和香菇的時候,無論如何,
正確的機率都應該是 1/2. 可我相信云風應該不會錯,雖然底下 comment 很多都和
我有一樣的結論,應該是 1/2, 還是不斷在想是什麼情況下會得到 1/3 這個結論。

comment 裡提到了貝氏定理,不過我覺得這應該沒有差別,重點應該在條件機率
可條件機率看來看去,如果事件的前後沒有因果關係,那就跟一般機率沒兩樣了。
因此重點還是在這個問題裡面的事件,到底有沒有因果關係?

後來我看到有人提到蒙提霍爾問題,大概看了一下.... 我想這問題可以這樣解。
首先把情況分成兩個部分,一個是「一定要換」另一個是「一定不要換」。
因為我們的目標正是想知道這兩種作法的結果,有什麼機率上的差異?
如果選擇「一定不要換」的話,那很明顯無論主持人怎麼做,都不會影響結果,
那選對的機率也就很自然是 1/3 了。

但如果「一定要換」的話,就不太一樣了。這邊有好幾個重點,首先注意主持人的
行動。主持人的行動,跟玩家的選擇是有因果關係的。如果玩家選對了,那主持人
隨機選擇其中一個錯誤的選擇。如果玩家選錯了,那主持人只剩下一個選擇,就是
選擇剩下那個錯誤的選擇。

因此這邊有因果關係,可以使用條件機率。不過我覺得可以不用條件機率來思考。
假使一開始選擇的就是對的,那在「一定要換」的情況下,有 0 的機率會選對。
假使一開始選擇的就是錯的,那在「一定要換」的情況下,有 1 的機率會選對。
也就是說,選對的會變成選錯的,選錯的會變成選對的,情況完全反過來,
因此在「一定要換」的情況下,選對的機率變成 2/3, 選錯的機率是 1/3.
(實際算法是 1/3 * 0 + 2/3 * 1 => 2/3)

重要的前提:

* 主持人一定要選錯的答案,玩家選對選錯,主持人的選擇情況會不同
* 如果沒有最初的選擇,主持人先選,則玩家的選擇無關於主持人的選擇,機率變成 1/2

- - -

想到這裡,我忽然覺得云風應該是對的。但後面本來打了很多,愈想又愈覺得好像不對,
無論如何找不到那個關鍵的因果關係。放了一天,還是覺得好像找不到答案。所以乾脆
就只把目前想法寫出來就好了...

首先是最初的選擇。假使每個便當都是不一樣的,那麼選到正確的答案,自然是 1/4.
但是其中有三份是一樣的,因此選有三份的那份,機率要乘三,也就是 3/4.
一開始的選擇是對的,這個應該沒有任何爭議。

接著問題來了。如果我們有換的機會,要不要換?如果不換的話,同樣也就不會有
因果關係。既然沒有因果關係,那最後剩下二選一的情況,選對的機率仍然是 1/2,
從 3/4 下降到 1/2. 但如果要換的話呢?

我現在在想的是,拿走牛展的兩人,無論如何都不會因為少了一份牛展而改變其選擇。
如果最初的選擇是拿香菇的話,那就有差了,因為如果有人的是香菇,那很明顯現在
沒有香菇了... 可是如果最初的選擇是牛展,充其量似乎也只能知道發生這件事的機率是
2/3 * 1/2 => 1/3 而已。(三份便當裡有兩份牛展、兩份便當裡有一份牛展)

而這件事說起來真的影響到的,好像還是只有機率從原本的 3/4 下降到 1/2 ?

- - -

總而言之,感覺機率有時候真的有點違反直覺,而且有無窮多種說法與解法。
也因此有時候有已知答案時,我會變得好像在想辦法去湊那個答案... 跟原本
不知道答案而在分析問題時,感覺不太一樣。

另外我覺得說不定數學或科學最有趣的地方在於,最終得到的答案很可能是
違反直覺,或是自己不想接受的。這大概也使得以之獲得想要的答案時更
讓人覺得是可信賴的。我想所謂可證偽性大概就是如此吧。不過也因此這更
顯得 42 是個很好笑的笑話...

8 retries:

Josh Ko said...

我們這裡昨天剛好也在大吵 Monty Hall 問題吵了半天⋯

Lin Jen-Shin (godfat) said...

@@"
我以為這問題已經有共識了?

IsaacH said...

覺得問題有二,一是云風大只以一次觀察的結果就認為自己拿到菇的機會比較大。我想在這個世界線上的人不可能知道自己的世界線是比較可能發生的那條或是比較不可能發生的那條,只知道那些已經發生的事真的已經發生了。

另外他選了以後並沒有打開,對他來說飯是未知的。
1.) 手上的是牛而且兩個同事挑完後確定手上的是牛的機會:1/2
2.) 手上的是牛,目睹兩個同事隨便挑也是牛的機會:1/4
3.) 手上的是菇,目睹兩個同事隨便挑都是牛的機會:1/4

只看知不知道自己的飯是什麼的話,結果的話有兩種
a.) 云風知道自己拿的是牛:1/2(1.)
b.) 云風不知道自己拿到的是什麼:1/2(2. + 3.)

云風說:「我的饭是香菇的可能性要更大一些。」

在同事的舉動後,云風還不知道自己拿的是什麼,所以我們現在在分歧 b.),在這個情況下,不管換不換,還是不知道自己拿的是什麼的機會是一樣的。所以覺得云風這邊這句話不太對,他不知道自己是菇是牛的機會應該是一樣的。

==

就像 godfat大前面所說的, Monty Hall問題的關鍵是:「主持人一定要選錯的答案,玩家選對選錯,主持人的選擇情況會不同」,如果今天同事不管怎樣都要挑走兩個牛,那從結果來看,換飯盒跟 Monty Hall裡面的換門一樣變成一個 NOT(),不管本來挑到什麼,換了一定拿到相反的那個。

Lin Jen-Shin (godfat) said...

@@"
我的解讀是,云風一開始就檢查過四個便當是什麼了,
也因此才拿了牛的,因為牛的有三份,而香菇只有一份
因此問題是一開始就拿了牛,最後要不要換成香菇?

IsaacH said...

那問題就來了,我不懂云風為啥要說:「我决定试一下手气,看看能不能拿到我的那一份。」

Lin Jen-Shin (godfat) said...

因為他不知道自己的是牛的還是香菇的,我是這樣理解的
他請別人幫忙訂,但是沒有說要訂什麼

jaiyalas said...

(忙到現在才有時間看 google reader)

本來想和你說我們之前在 APLAS 也拿 Monty Hall
討論了很久,結果一進來就看到 Josh 已經講過了 XD

Lin Jen-Shin (godfat) said...

所以是在討論啥啊? XD

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